[Архив!] Чистая математика, физика, химия и т.п.: задачки для тренировки мозгов, никак не связанные с торговлей - страница 280

Можно даже проще:

31,

331,

3031,

30031,

300031.

Правда, с взаимной простотой еще проверять надо. Но закон образования проще.

Следующая:

Найти все такие alpha, что последовательность cos(alpha), cos(2*alpha), cos(4*alpha), cos(8*alpha), ..., cos(2^n*alpha), ... - все отрицательны. 451

Я тоже ещё могу:

91

991

9991

99991

999991

;)

Т.е. можно и так:

Найти все такие alpha, что cos(alpha) = z(0)<0, а все z(n+1) = 2*z(n)^2 - 1 отрицательны. Надеюсь, понятно?

Мне в первой формулировке понятнее. Пшёл кумекать.

Тут графическое построение поможет, наверно. Парабола y=2*z^2 - 1 и прямая y=z.

Очевидно, неподвижная точка отображения z -> 2*z^2 - 1 - пересечение этих графиков.

Нам нужна отрицательная. Решаем уравнение: 2*z^2 - z - 1 = 0, z<0.

Это z=-1/2, т.е. alpha = 2*Pi/3. Это одна точка.

Остальные решения получаем "клонированием" - умножением на степени двойки.

Так, пока тривиально. А как насчет других решений или доказательства, что их нет? Да, других решений нет, но доказательство нетривиально.

Следующая:

Ты же на графике видел?

Дык я указал только неподвижную точку. Нам-то нужно нечто большее. Не обязательно, чтобы все эти отрицательные были равны. Да, в решении доказывается, что других точек нет.

Ага, видел твое поздравление. Давненько я черной икрицы не едал...